Définition
Définition d'une base de voisinages :
- \((E,\tau)\) est un espace topologique
- soit \({\mathcal B}_x\subset\mathcal V(x)\)
- $$\forall V\in\mathcal V(x),\exists W\in {\mathcal B}_x,W\subset V$$
$$\Huge\iff$$
- \({\mathcal B}_x\) est une base de voisinages de \(x\)
- \(({\mathcal B}_x)_{x\in E}\) est une base de voisinages de \(E\)
Propriétés
Lien avec les bases de topologies
START
Théorème avec démo
Lien entre bases de voisinage et bases de la topologie
Soit \((E,\tau)\) un espace topologique
Hypothèses:
- \(\forall x\in E,\{U\in{\mathcal B}\mid x\in U\}\) forme une base de voisinages de \(x\)
Résultats:
- \({\mathcal B}\) est une base de \(\tau\)
Equivalence?: y
Résumé: Un ensemble est une base de la topologie si et seulement si ses éléments qui contiennent un point forment une base de voisinages de ce point.
1: Soit \(x\in E\)
On pose \(B_x=\{U\in{\mathcal B}\mid x\in U\}\)
Soit \(V\in\mathcal V(x)\)
Alors \(\exists U\in\tau\) tel que $$\begin{align}&x\in U\subset V\\ \implies&\exists B\in{\mathcal B},x\in B\subset U\subset V\\ \implies&B\in{\mathcal B}_x\end{align}$$
1i: \(\implies\)
2: Soit \(V\in\tau\)
\(V\) est voisinage de touts ses points
\(\implies\forall x\in V,\exists U_x\in{\mathcal B},x\in U_x\subset V\)
$$V=\bigcup_{x\in V} \underbrace{U_x}_{\in{\mathcal B}}\implies{\mathcal B}\text{ base}$$
2i: \(\impliedby\)
END
Comparaison de deux bases de voisinages
Comparaison de deux bases de voisinages :
- soient \(\tau_1,\tau_2\) deux topologies sur \(E\) et \(({\mathcal B}^1_x)_{x\in E},({\mathcal B}^2_x)_{x\in E}\) les bases de voisinages associées
- $$\forall x\in E,\forall V\in{\mathcal B}^2_x,\exists U\in {\mathcal B}^1_x,U\subset V$$
$$\Huge\iff$$
- \(\tau_1\) est plus fine que \(\tau_2\)